Por la diversidad de tareas que se realizan cotidianamente
en la ingeniería, los ingenieros nos alejamos de los principios físicos básicos
que se estudian durante el cursado de la carrera de grado, se comienzan a
tratar temas en forma exageradamente práctica, como consecuencia, aquellos conceptos aprendidos en nuestros años
de estudiante se vuelven difusos con el transcurrir del tiempo.
Un ejemplo, se puede encontrar en la respuesta que se
recibiría si nos preguntan: ¿Cuál es la velocidad con que se desplazan los
electrones en un conductor?
Es usual escuchar como respuesta: “un poco menos que la
velocidad de la luz, considerando que cuando encendemos una lámpara el efecto
es instantáneo”.
Suponiendo que la respuesta es correcta, se hará una
análisis teórico/práctico para tratar de demostrar su veracidad. Para esto
tendremos que regresar en el tiempo a nuestra vida de estudiante, sin
conocimientos prácticos de la ingeniería, pero con mucho entusiasmo y entrenamiento
para razonar, los que posiblemente se vieron disminuidos con el pasar de los
años.
Considerando como cierta la respuesta, asumimos que los
electrones se desplazan con una velocidad relativamente menor a la correspondiente de la luz, por ejemplo v=
250.000 km/s (c≈300.000 km/s).
Ahora bien, nos preguntemos: ¿Qué efectos produciría esta
velocidad sobre el conductor?
Para dar una respuesta tendremos que traer a colación ciertos
conceptos básicos, estudiados durante la carrera, que nos permitirán interpretar estos efectos.
Se define como cuerpo conductor, aquel que posee electrones
libres y se designa con el símbolo “n”
a la cantidad de cargas libres por unidad de volumen que el cuerpo conductor posee.
Los metales se caracterizan por tener una importante
cantidad de electrones libres, lo cual los convierte en buenos conductores. Por
ejemplo el cobre tiene 8,45x1022 electrones libres /cm3, en cambio la
plata tiene 5,86 x1022 electrones libres /cm3.
Comenzaremos
el análisis considerando que el conductor es parte de un circuito de corriente continua.
Si realizamos un corte perpendicular en este conductor,
visualizaremos la sección transversal del mismo. Esta sección es atravesada por
electrones en movimiento o sea que pasa una determinada carga eléctrica por unidad de tiempo, que se
la llama intensidad de corriente
eléctrica cuya unidad es Ampere (Coulomb/s).
Si relacionamos esta corriente con la sección transversal
obtendremos la densidad de corriente en A/mm2 designada con el
símbolo “J”.
La velocidad “v” con que se mueven las cargas que originan
la corriente se llama velocidad de arrastre de las cargas libres. Dicha
velocidad es la que se supone, erróneamente, aproximada a la velocidad de la
luz.
Ahora bien, ya aclarado esta serie de conceptos, comencemos
con el análisis teórico/práctico de lo planteado anteriormente.
Consideremos un sector
de conductor cuya longitud sea la distancia recorrida por los electrones en un
segundo, este sector será un cilindro siendo una de las bases la sección
transversal “S” que será atravesada por los electrones contenidos en ese
cilindro en el próximo segundo.
Si tomamos como longitud del cilindro la distancia recorrida
por los electrones a una velocidad “v”
en un segundo, esto es l=v.t (longitud o altura del cilindro).
Para conocer la cantidad de electrones
libres que contiene el cilindro, tendremos que
calcular el volumen de este y multiplicarlo por la densidad de electrones
libres del metal con el que está constituido dicho conductor.
Volumen = área x altura = S.l = S.v.t (para t=1 segundo)
Volumen = S.v.t [cm3]
La cantidad de electrones libres en este volumen será (S.v.t.n)
si a esta cantidad la multiplicamos por el valor absoluto de la carga de cada
electrón e- = 1,602x 10-19C , obtendremos la carga
total contenida en ese cilindro, la cual en el próximo segundo, atravesará la
sección transversal del conductor.
Q = carga contenida
en el cilindro = S.v.t.n.e- [Coulomb]
Si dividimos por el
tiempo obtendremos la corriente
eléctrica, cuya unidad es el Ampere o Coulomb por segundo.
I = Q/t = S.v.n.e- [C/s]
Si la dividimos por la sección obtendremos la densidad de
corriente, cuya unidad será Ampere por
mm2.
J = I/S = e-.n.v [A/mm2]
Realicemos con esta sencilla ecuación, que pueden encontrar
en cualquier libro de Física, el primer ejercicio para verificar la veracidad
de la afirmación inicial. Utilizaremos un conductor de cobre.
J = 1,602x10-19 C x 8,45x1022 electrones/cm3 x 25x109 cm/s
J = 338,42x1012 [C/s.cm2]
J = 338,42x1012 [A/cm2] = 338,42x1010 [A/mm2]
Si observamos el resultado, inmediatamente notaremos que la
densidad de corriente en el conductor es inconsistente con la realidad, ya que
lo volatilizaría en un instante, razón por la cual comenzamos a dudar de la
afirmación.
Continuando con otro ejemplo, relacionado con una práctica
habitual en una instalación eléctrica, estamos hablando de una instalación de
cables sobre bandejas.
Cuando en una instalación industrial se instala un cable del
tipo subterráneo en una bandeja, se tiene la precaución, en los cambios de
dirección, de respetar el radio mínimo de curvatura determinado por el
fabricante.
Para el ejemplo se considera un cable subterráneo unipolar
de 150 mm2 de cobre aislación 1kV sin armadura y sin blindaje, cuyo
radio mínimo de curvatura determinado por el fabricante es de r = 28 cm.
Al encontrarse los electrones con una velocidad en el cable de 250.000 km/s, para cambiarles la dirección lineal
de la velocidad en una curva, se necesita una cierta fuerza centrípeta, ya que
por más pequeños que sean poseen una cierta masa (me= 9,108 x 10-31 kg). Esta fuerza se pone
de manifiesto en la curva sobre la estructura del conductor, dicho esfuerzo se
transmitirá desde el conductor directamente a la bandeja.
Fc = fuerza
centrípeta = me.ac (por electrón)
me = masa electrón ac= aceleración
centrípeta = v2/r r = radio de curvatura
Fc = me.v2/r Si consideramos todos los electrones contenidos en el volumen de estudio
ó cilindro, tendremos la fuerza centrípeta total:
∑Fc= ( me.v2/r).S.v.t.n l=v.t
Si calculamos la fuerza total por unidad de longitud
Fct= ( me.v2/r).S.v.t.n/v.t
Fct= ( me.v2/r).S.n [N/m]
Fct= 2,58 x 109 [N/m] Fct= 263 [ t/mm ]
Sería imposible que el cable soporte este esfuerzo por
milímetro de longitud en la curva.
Una situación similar se presentaría en una línea aérea debido
a la forma de la catenaria, la fuerza
centrípeta significaría aumentar varias
veces el peso del conductor, si es que se supone que lo electrones se
desplazaran a dicha velocidad.
Los ejemplos propuestos demuestran la inconsistencia de la
velocidad supuesta, razón por la cual plantearemos en forma inversa el problema
y comenzaremos aceptando la densidad de corriente sugerida por el fabricante
para que el conductor de cobre no supere la temperatura que soporta el
aislante.
Para determinadas condiciones de instalación, el fabricante determina para un cable
subterráneo de cobre de 150mm2 de sección transversal para 1kV de aislación, una intensidad de
corriente de 420A.
Utilizando la ecuación de densidad de corriente obtenida
anteriormente:
J = I/S = e-.n.v [A/mm2]
J = 420/150 [A/mm2] J = 2,8 [A/mm2]
Si despejamos la velocidad de arrastre de los electrones y
la calculamos:
v= J/(e-.n) [m/s] v= 2,07 x
10-4 [m/s] v= 74,5 [cm/h]
Este resultado corresponde a corriente continua y se concluye que la
velocidad de los electrones en el conductor es directamente proporcional a la
densidad de corriente e inversamente proporcional a la densidad de electrones
libres.
Se puede apreciar que la velocidad de arrastre es
extremadamente baja y esto desestima la veracidad de la afirmación inicial.
Si verificamos la fuerza total sobre la estructura del cable
de 150mm2 considerando la velocidad de arrastre real será:
Fct= 1,76x 10-15 [N/m] (valor despreciable)
A continuación analizaremos el movimiento de los electrones
en corriente alterna sinusoidal que
posiblemente sea menos conocido y más difícil de interpretar.
En la ecuación de velocidad de arrastre, la carga del electrón y la densidad de cargas
libres las consideramos constantes para un determinado material, y es la
densidad de corriente la que seguirá la
ley de variación de la tensión de fuente. Por lo tanto la velocidad de los
electrones también acompañará esta variación, consideremos que es una función
sinusoidal:
v= J/(e-.n) [m/s] J(t)= Jmax senwt
v(t)=(Jmax/e-.n) senwt v(t)= Vmax senwt
Vmax = Jmax/e-.n (valor máximo de la velocidad)
Para calcular el desplazamiento de cada electrón tendremos
que integrar el producto de la velocidad por el tiempo.
x(t)= ʃv(t)dt= ʃ Vmax senwt dt
x(t)= - ( Jmax/e-.n.w) coswt
x(t)= - Xmax coswt
Siendo Xmax la amplitud del desplazamiento
del electrón con respecto a una posición central.
Xmax = Jmax/e-.n.w
Si realizamos el cálculo para una frecuencia de 50 Hz, tendríamos:
w= 2πf = 314 [s-1]
La densidad de
corriente eficaz para el conductor del ejemplo es :
J = 2,8 [A/mm2] por lo tanto el valor máximo
será Jmax = √2 J = 3,96 [A/mm2]
Xmax = 0,93 µm
Esto significa que
los electrones en un sistema de corriente alterna de 50Hz no se desplazan solo
vibran con respecto a una posición central, que para nuestro ejemplo de un
cable de cobre con una densidad de corriente eficaz de 2,8 A/mm2 el
desplazamiento máximo que experimentan es de 0,93 micometro.
Es por esta razón que podríamos llamar a los electrones de
nuestra instalación “amigos y colaboradores” ya que permanecen sin moverse de
su lugar de trabajo a lo largo de toda la vida de la instalación.
Este artículo, no pretende ser un artículo científico su
finalidad es explicar en forma sencilla algunos conceptos que posiblemente
hayamos olvidado o que se estudiaron sin la profundidad necesaria.
Fuente : Libro de Física – Raymond
A. Serway
Por: Ing. Carlos E. Ferrari
Gerente
Técnico y de Desarrollo de Electroingeniería I.C.S.S.A
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